来年(2022年)は三つ子素数の年にしたい

この記事は素数大富豪Advent Calendar 2021の3日目の記事です。

昨日はもりしーさんの【悲報】連覇ストップ - 素数交響曲第2番でした。もりしーさんはマスプライム杯2021では準々決勝敗退となり、Mathpower杯から続いていたMPC連覇が4でストップしました。とはいえ素数大富豪プレーヤーの中で一目置かれる存在であることに変わりはありません。今後もプレーヤーとして活動を続けていくそうなので、また対戦の機会がありましたらよろしくお願いいたします。

2021年、私は合成数出しの年をテーマに掲げて素数大富豪をしてきました(公言することは控えていたけど去年の記事にはこっそり書いていた)。その結果、いろいろな合成数出しが出せるようになり、1年間テーマを決めて取り組むのには手ごたえを感じました。そこで来年2022年は年号に2が3つ含まれるという理由で「三つ子素数」をテーマに素数大富豪をやっていこうと思います。ところで、素数大富豪において「三つ子素数」というものを考えると、通常の三つ子素数の定義とは異なる定義をしたほうが便利です。本稿では素数大富豪における「三つ子素数」を定義し、その利便性を議論していきます。

通常の三つ子素数の定義

三つ子素数は通常「 $(p, p+2, p+6)$ または $(p, p+4, p+6)$ という形で各成分が素数であるものの組」として定義されます( $(p, p+2, p+4)$ としないのは $p, p+2, p+4$ のうち一つは $3$ の倍数になるため、各成分が素数であるものが $(3, 5, 7)$ しかないから)。オンライン整数列大辞典(OEIS)には三つ子素数に関連する数列がいくつかありますが、ここでは $(p, p+2, p+6)$ という形の三つ子素数の $p$ を昇順に並べた数列A022004 - OEISと $(p, p+4, p+6)$ という形の三つ子素数の $p$ を昇順に並べた数列A022005 - OEISを紹介しておきます。
これをそのまま素数大富豪でも使おうとすると少し困った状況に遭遇します。というのも( (5, 7, 11, 13)を除く)四つ子素数と異なり通常の三つ子素数では組の途中で繰り上がりが発生する場合があります。例えば(1447, 1451, 1453)は通常の意味での三つ子素数ですが、十の位以上が144から145と途中で変わっていて覚える際に注意しなければならず、出す際にも組み合わせがずれているので不便です。(1451, 1453, 1459)の組のほうが十の位以上も揃っているので、素数大富豪ではこちらを三つ子素数と考えるほうが自然であるように思います*1。

素数大富豪における「三つ子素数」

前項での考察を基に、素数大富豪における「三つ子素数」を次のように定義します。

定義素数大富豪における三つ子素数とは素数大富豪素数の三つ組であって、末尾1枚以外が共通しているものをいう。

以下、三つ子素数といったらこの定義のものとします。すなわち(1447, 1451, 1453)は三つ子素数とはみなさず、(1451, 1453, 1459)は三つ子素数とみなします。

定義から((5, 7, 11, 13)を除く)四つ子素数のうち3つをとってできる三つ組は三つ子素数です。その意味では四つ子素数のある種の一般化といえます。

さて、いま定義した三つ子素数を見ていくにあたって、つける末尾によって分類しておくと便利です。2, 5を除く素数大富豪素数は末尾がA, 3, 7, 9, J, Kのいずれかになるので、そのうち3つを選べばよいのですが、3による剰余がすべて異なるようにとるとどの数につけてもできる3つの数のうち1つは3の倍数になるためそのような組み合わせは除きます。すると、つける末尾の組み合わせは以下の14通りがあります。
(A37), (A39), (A3K), (A79), (A7J), (A7K), (A9K), (AJK), (379), (37K), (39J), (39K), (79K), (7JK)

この中でも(A7K), (379), (39J)はとくに実用性があるのではないかと思います。

(A7K) 3つとも3による剰余が同じであるため、候補が他のタイプと比べて2倍ある(3による剰余が0または1のものにつけられる可能性がある。他のタイプは3による剰余が0, 1, 2のどれか1つだけ)。個数を稼ぎたい人向け。8646X, 9862X, 88TTQXなど。
(379) 四つ子素数の末尾からAを除いたもの。AはA, 2, 3と組み合わせて絵札の代わりにしたり、革命時の先頭に使ったりと末尾以外の用途があるため、四つ子素数(とくに革命下で役立つもの)を覚えても末尾にAをつけて出すことは意外と少ない。それならいっそAがつかないものも覚えて個数を増やそうというのがこのタイプ。OEISに幹となる数(Aをつけても素数になるものは除く)を昇順に並べた数列A216299 - OEISがある。A0267X, A04554X, A22368Xなど。
(39J) 3による剰余が2のものにつけられる唯一のタイプ。他のタイプは出す際に末尾に何がつくか混乱する可能性があるが、幹の3による剰余が2であればこのタイプに確定する。544KX, 88TT5X, 95JQKXなど。

三つ子素数のメリット・デメリット

私自身は現在(2021年12月)のところ三つ子素数をそれほど多くは覚えていない・使っていないため一部推測が含まれますが、三つ子素数を使う上では次のメリット・デメリットがあります。

メリット

四つ子素数に次ぐコスパの良さ 四つ子素数は一度に4つの素数を覚えられるということで素数大富豪の黎明期からプレーヤーに重宝されてきましたが、三つ子素数も一度に3つの素数を覚えられるという点ではそれに次ぐコスパを誇ります。
四つ子素数よりも個数が多い 四つ子素数よりも1組あたりの個数が少ないので条件のハードルが低くなり個数が増えます。十数枚出しにもなると四つ子素数はなかなか見つかりませんが、三つ子素数ならその欠点をある程度カバーできます。私がたまに出している98765432KQJTJ4932XはX=3, 9 , Jで素数になる三つ子素数です。

デメリット

末尾にどれがつくか混乱する 四つ子素数は末尾が(A379)と決まっていましたが、三つ子素数ではいくつかタイプがあります。そのため幹を見つけてもどのタイプであったかを思い出せなくなる事態がありえます。

まとめ

これまでの素数大富豪では三つ子素数が表立って登場したことはほとんどありませんでしたが、来年は三つ子素数の年といわれるようにたくさん使われる年にしましょう。

まずは上で出てきた末尾の各タイプに愛称をつけたいと思います。今のところ(A7K)は「稲飯さん」*2、(379)は「サナギ」くらいしか決まっていないのでいい案がありましたらご連絡ください(とくに(39J))。

明日の素数大富豪Advent Calendar 2021の担当はマリンさんです。素数大富豪への想いを語るとのことです。マリンさんはマスプライム杯2021終了後、来春まで素数大富豪の活動を休止すると宣言していたはずですが、蝉王戦・鼎聖戦の観戦や素数大富豪研究会2021に参加したりと現在でも(オンラインで)出くわすことが多いです。明日はマリンさんの素数大富豪への熱い想いが解き放たれることでしょう。